Определение конечного предела последовательности. Определение конечного предела последовательности Определение и примеры рациональных чисел

В этой статье мы начнем изучать рациональные числа . Здесь мы дадим определения рациональных чисел, дадим необходимые пояснения и приведем примеры рациональных чисел. После этого остановимся на том, как определить, является ли данное число рациональным или нет.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных чисел

В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа , подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа , противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.

Начнем с определения рациональных чисел , которое воспринимается наиболее естественно.

Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:

• Любое натуральное число n . Действительно, можно представить любое натуральное число в виде обыкновенной дроби , например, 3=3/1 .
• Любое целое число, в частности, число нуль. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Например, 26=26/1 , .
• Любая обыкновенная дробь (положительная или отрицательная). Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел.
• Любое смешанное число . Действительно, всегда можно представить смешанное число в виде неправильной обыкновенной дроби. Например, и .
• Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь . Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби. К примеру, , а 0,(3)=1/3 .

Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.

Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел . Числа 4 , 903 , 100 321 – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9 , 99/3 , - это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа .

Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.

Определение.

Рациональными числами называют числа, которые можно записать в виде дроби z/n , где z – целое число, а n – натуральное число.

Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления , тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и . Таким образом, , что и является доказательством.

Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Числа −5 , 0 , 3 , и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.

Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.

Определение.

Рациональные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.

Например, числа 5 , 0 , −13 , представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 и −7,(18) .

Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:

• целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел;
• каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число;
• каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Является ли данное число рациональным?

В предыдущем пункте мы выяснили, что любое натуральное число, любое целое число, любая обыкновенная дробь, любое смешанное число, любая конечная десятичная дробь, а также любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Это знание нам позволяет «узнавать» рациональные числа из множества написанных чисел.

Но как быть, если число задано в виде некоторого , или как , и т.п., как ответить на вопрос, является ли данное число рациональным? Во многих случаях ответить на него очень сложно. Укажем некоторые направления ходу мысли.

Если число задано в виде числового выражения, которое содержит лишь рациональные числа и знаки арифметических действий (+, −, · и:), то значение этого выражения представляет собой рациональное число. Это следует из того, как определены действия с рациональными числами . Например, выполнив все действия в выражении , мы получаем рациональное число 18 .

Иногда, после упрощения выражений и более сложного вида, появляется возможность определить, рационально ли заданное число.

Пойдем дальше. Число 2 является рациональным числом, так как любое натуральное число является рациональным. А как насчет числа ? Является ли оно рациональным? Оказывается, что нет, - не является рациональным числом, это иррациональное число (доказательство этого факта методом от противного приведено в учебнике по алгебре за 8 класс, указанном ниже в списке литературы). Также доказано, что квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в тех случаях, когда под корнем находится число, являющееся полным квадратом некоторого натурального числа. Например, и - рациональные числа, так как 81=9 2 и 1 024=32 2 , а числа и не являются рациональными, так как числа 7 и 199 не являются полными квадратами натуральных чисел.

А число рационально или нет? В данном случае несложно заметить, что , следовательно, данное число – рациональное. А является ли число рациональным? Доказано, что корень k-ой степени из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под знаком корня является k-ой степенью некоторого целого числа. Поэтому не является рациональным числом, так как не существует целого числа, пятая степень которого равна 121 .

Метод от противного позволяет доказывать, что логарифмы некоторых чисел по некоторым основаниям не являются рациональными числами. Для примера докажем, что - не рациональное число.

Предположим противное, то есть, допустим, что - рациональное число и его можно записать в виде обыкновенной дроби m/n . Тогда и дают следующие равенства: . Последнее равенство невозможно, так как в левой его части находится нечетное число 5 n , а в правой части – четное число 2 m . Следовательно, наше предположение неверно, таким образом, не является рациональным числом.

В заключение стоит особо отметить, что при выяснении рациональности или иррациональности чисел следует воздержаться от скоропостижных выводов.

Например, не стоит сразу утверждать, что произведение иррациональных чисел π и e является иррациональным числом, это «как бы очевидно», но не доказано. При этом возникает вопрос: «А с чего бы произведению быть рациональным числом»? А почему бы и нет, ведь можно привести пример иррациональных чисел, произведение которых дает рациональное число: .

Также неизвестно, являются ли числа и многие другие числа рациональными или не являются таковыми. Например, существуют иррациональные числа, иррациональная степень которых является рациональным числом. Для иллюстрации приведем степень вида , основание данной степени и показатель степени не являются рациональными числами, но , а 3 – рациональное число.

Список литературы.

• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Инструкция

Однако перебор может оказаться достаточно долгим, если, скажем, на нужно проверить число вида 136827658235479371. Поэтому стоит обратить внимание на правила, способные заметно сократить время вычислений.

Если число составное, то есть представляет собой произведение простых сомножителей, то среди этих сомножителей обязательно должен найтись хотя бы один, который будет меньше квадратного корня из заданного числа. Ведь произведение двух , каждое из которых больше квадратного корня из некоторого X, будет заведомо больше X, и эти два числа никак не могут быть его делителями.

Поэтому даже при простом переборе можно ограничиться проверкой только тех целых чисел, которые не превышают квадратный корень из заданного числа, округленный в большую сторону. Например, проверяя число 157, вы перебираете возможные множители только от 2 до 13.

Если у вас нет под рукой компьютера, и число на простоту приходится проверять вручную, то и здесь на помощь приходят простые и очевидные правила. Больше всего вам поможет знание уже известных простых чисел. Ведь проверять отдельно делимость на составные числа нет смысла, если можно проверить делимость на их простые множители.

Четное число по определению не может быть простым, поскольку делится на 2. Поэтому, если последняя цифра числа четна, то оно заведомо составное.

Числа, делящиеся на 5, всегда оканчиваются пятеркой или нулем. Взгляд на последнюю цифру числа поможет их отсеять.

Если число делится на 3, то и сумма его цифр тоже обязательно делится на 3. Например, сумма цифр числа 136827658235479371 равна 1 + 3 + 6 + 8 + 2 + 7 + 6 + 5 + 8 + 2 + 3 + 5 + 4 + 7 + 9 + 3 + 7 + 1 = 87. Это число делится на 3 без остатка: 87 = 29*3. Следовательно, и наше число тоже делится на 3 и является составным.

Очень прост также признак делимости на 11. Нужно из суммы всех нечетных цифр числа вычесть сумму всех четных его цифр. Четность и нечетность определяется счетом с конца, то есть с единиц. Если получившаяся разность делится на 11, то и все заданное число тоже на него делится. Например, пусть дано число 2576562845756365782383. Сумма его четных цифр равна 8 + 2 + 7 + 6 + 6 + 7 + 4 + 2 + 5 + 7 + 2 = 56. Сумма нечетных: 3 + 3 + 8 + 5 + 3 + 5 + 5 + 8 + 6 + 6 + 5 = 57. Разность между ними равна 1. Это число не делится на 11, а следовательно, 11 не является делителем заданного числа.

Проверить делимость числа на 7 и 13 можно аналогичным способом. Разбейте число на тройки цифр, начиная с конца (так делают при типографской записи для удобства чтения). Число 2576562845756365782383 превращается в 2 576 562 845 756 365 782 383. Просуммируйте числа, стоящие на нечетных местах, и вычтите из них сумму чисел на четных. В данном случае вы получите (383 + 365 + 845 + 576) - (782 + 756 + 562 + 2) = 67. Это число не делится ни на 7, ни на 13, а значит и делителями заданного числа они не являются.

Обратите внимание

Признаки делимости на другие простые числа гораздо сложнее, и в большинстве случаев проще попытаться разделить заданное число на предполагаемый делитель вручную.

Источники:

• Элементарная математика — признаки делимости

Самые известные способы найти список простых чисел вплоть до некоторого значения-- это решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина. Для того, чтобы проверить, является ли данное число простым, существуют тесты простоты

Вам понадобится

• Калькулятор, лист бумаги и карандаш (ручка)

Инструкция

Способ 1. Решето Эратосфена.
По этому методу, чтобы найти все простые не больше определенного значения Х, необходимо выписать подряд все целые числа от одного до Х. Возьмем число 2 как первое число. Вычеркнем из списка все числа, делящиеся на 2. Затем возьмем следующее после , не вычеркнутое число, и вычеркнем из списка все числа, делящиеся на взятое нами число. И далее каждый раз будем брать следующее не вычеркнутое число и вычеркивать из списка все числа, делящиеся на взятое нами число. И так до тех пор пока выбранное нами число не станет больше, чем Х/2. Все оставшиеся в списке не вычеркнутые простыми

Способ 2. Решето Сундарама.
Из ряда натуральных чисел от 1 до N исключаются все числа вида
х + у + 2ху,
где индексы х (не больший у) пробегают все натуральные значения, для которых х+у+2ху не больше N, а именно значения х=1, 2,...,((2N+1)1/2-1)/2 и х=у, х+1,...,(N-х)/(2х+1)ю. Затем каждое из оставшихся чисел умножается на 2 и на 1. Полученная в результате последовательность представляет собой все нечётные простые числа в ряду от одного до 2N+1.

Способ 3. Решето Аткина.
Решето Аткина представляет собой сложный современный алгоритм нахождения всех простых чисел до заданного значения Х. Основная суть алгоритма состоит в представлении простых чисел как целых с нечетным числом представлений в данных квадратных формах. Отдельный этап алгоритма отсеивает числа, кратные квадратам простых чисел в интервале от 5 до Х.

Тесты простоты.
Тесты простоты-- это алгоритмы, позволяющие определить, является ли конкретное число Х простым.
Один из самых простых, но и трудоемких тестов-- это перебор делителей. Он состоит в преборе всех целых чисел от 2 до квадратного корня из Х и в вычислении остатка от деления Х на каждое из этих чисел. Если остаток от деления числа Х на некоторое число (больше 1 и меньше Х) равен нулю, то число Х является составным. Если выявляется, что число Х невозможно сократить без остатка ни на одно из чисел, кроме единицы и самого себя, то число Х простое.
Кроме этого способа существует также большое количество других тестов для тестирования простоты числа. Большинство этих тестов являются вероятностными и используются в криптографии. Единственный тест, гарантирующий получение ответа (тест AKS) очень сложен в вычислении, что затрудняет его практическое применение

Здесь мы рассмотрим определение конечного предела последовательности. Случай последовательности, сходящейся к бесконечности, рассмотрен на странице «Определение бесконечно большой последовательности» .

Определение

{ x n } , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , зависящее от ε , что для всех натуральных n > N ε выполняется неравенство
| x n - a| < ε .
Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .

Преобразуем неравенство:
;
;
.

Открытый интервал (a - ε, a + ε ) называют ε - окрестностью точки a .

Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью . Также говорят, что последовательность сходится к a . Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся .

Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a , что какую бы ε - окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε - окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε , мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε - окрестностью точки a . Первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε - окрестности может находиться не более элементов - то есть конечное число.

Также заметим, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно: может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n , должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение предела можно записать следующим образом:
(1) .

Определение, что число a не является пределом

Теперь рассмотрим обратное утверждение, что число a не является пределом последовательности.

Число a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n , что
.

Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2) .

Утверждение, что число a не является пределом последовательности , означает, что
можно выбрать такую ε - окрестность точки a , за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности .

Рассмотрим пример . Пусть задана последовательность с общим элементом
(3)
Любая окрестность точки содержит бесконечное число элементов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число элементов. Возьмем ε - окрестность точки с ε = 1 . Это будет интервал (-1, +1) . Все элементы, кроме первого, с четными n принадлежат этому интервалу. Но все элементы с нечетными n находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству x n > 2 . Поскольку число нечетных элементов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов. Поэтому точка не является пределом последовательности.

Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое , так что, для любого натурального n , существует нечетное , для которого выполняется неравенство
.

Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε - окрестность точки a , которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Эквивалентное определение

Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε - окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε - окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a .

Определение окрестности точки
Окрестностью точки a называется любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность определяется так: , где ε 1 и ε 2 - произвольные положительные числа.

Тогда определение предела будет следующим.

Эквивалентное определение предела последовательности
Число a называется пределом последовательности , если для любой ее окрестности существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Это определение можно представить и в развернутом виде.

Число a называется пределом последовательности , если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N , зависящее от и , что для всех натуральных выполняются неравенства
.

Доказательство равносильности определений

Докажем, что, представленные выше, два определения предела последовательности равносильны.

Пусть число a является пределом последовательности согласно первому определению. Это означает, что имеется функция , так что для любого положительного числа ε выполняются неравенства:
(4) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по второму определению. То есть нам нужно показать, что существует такая функция , так что для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 выполняются неравенства:
(5) при .

Пусть мы имеем два положительных числа: ε 1 и ε 2 . И пусть ε - наименьшее из них: . Тогда ; ; . Используем это в (5):
.
Но неравенства выполняются при . Тогда и неравенства (5) выполняются при .

То есть мы нашли такую функцию , при которой выполняются неравенства (5) для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 .
Первая часть доказана.

Теперь пусть число a является пределом последовательности согласно второму определению. Это означает, что имеется функция , так что для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 выполняются неравенства:
(5) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по первому определению. Для этого нужно положить . Тогда при выполняются неравенства:
.
Это соответствует первому определению с .
Равносильность определений доказана.

Примеры

Здесь мы рассмотрим несколько примеров, в которых требуется доказать, что заданное число a является пределом последовательности. При этом нужно задать произвольные положительное число ε и определить функцию N от ε такую, что для всех выполняется неравенство .

Пример 1

Доказать, что .

(1) .
В нашем случае ;
.

.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и , то
.

.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом заданной последовательности:
.

Пример 2

С помощью определения предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
.

Пример 3

.

Вводим обозначения , .
Преобразуем разность:
.
Для натуральных n = 1, 2, 3, ... имеем:
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
При этом
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Пример 4

Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.