Уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой и плоскости в пространстве Поверхности и их уравнения

12.03.2021

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат - Ox , Oy и Oz . Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости , имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x , y , z . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P . Для точки N , не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

В этой формуле числа A , B и C координаты вектора , а числа x 0 , y 0 и z 0 - координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

называется общим уравнением плоскости .

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz , нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0 . Поэтому получаем z = 6 . Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A (0; 0; 6) .

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy . При x = z = 0 получаем y = −3 , то есть точку B (0; −3; 0) .

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox . При y = z = 0 получим x = 2 , то есть точку C (2; 0; 0) . По трём полученным в нашем решении точкам A (0; 0; 6) , B (0; −3; 0) и C (2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости . Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0 (0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox , поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy , а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz .

3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox , поскольку она параллельна оси Ox (A = D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy , а плоскость через ось Oz .

4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy , поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz , а плоскость - плоскости xOz .

5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy , так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz , а уравнение x = 0 - координатную плоскость yOz .

Пример 3. Составить уравнение плоскости P , проходящей через ось Oy и точку .

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy . Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P .

Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:

M 0 (2; −4; 3) .

Среди них x = 2 , z = 3 . Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:

2A + 3C = 0 .

Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем

A = −1,5C .

Подставив найденное значение A в уравнение , получим

или .

Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах - в пособии "Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке" .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть даны три различные точки , и , не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости лежит в одной плоскости с точками , и тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости

(3)

После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:

и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.

Решение. По формуле (3) имеем:

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x , y , z )

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x , y , z ).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.

Уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости вида , где a , b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках .

Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях Ox , Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a , b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) следует откладывать отрезки на координатных осях.

Для примера построим в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, определенную уравнением плоскости в отрезках . Для этого отмечаем точку, удаленную на 5 единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая уравнению плоскости в отрезках вида .

Для получения более полной информации обращайтесь к статье уравнение плоскости в отрезках , там показано приведение уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости, там же Вы также найдете подробные решения характерных примеров и задач.

Нормальное уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости вида называют нормальным уравнением плоскости , если равна единице, то есть, , и .

Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде . Здесь - направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz определяет плоскость, которая удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости . Если p=0 , то плоскость проходит через начало координат.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz общим уравнение плоскости вида . Это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости. Действительно, и нормальный вектор этой плоскости имеет длину равную единице, так как .

Уравнение плоскости в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до плоскости .

Рекомендуем более детально разобраться с данным видом уравнения плоскости, посмотреть подробные решения характерных примеров и задач, а также научиться приводить общее уравнение плоскости к нормальному виду. Это Вы можете сделать, обратившись к статье .

Список литературы.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения, определяющие прямую, проходящую через заданную точку коллинеарно направляющему вектору.

Пусть дана точка и направляющий вектор . Произвольная точка лежит на прямой l только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. для них выполняется условие:

Приведённые выше уравнения и есть канонические уравнения прямой.

Числа m , n и p являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор ненулевой, то все числа m , n и p не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю. В аналитической геометрии допускается, например, такая запись:

которая означает, что проекции вектора на оси Oy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор , и прямая, заданная каноническими уравнениями, перпендикулярны осям Oy и Oz , т. е. плоскости yOz .

Пример 1. Составить уравнения прямой в пространстве, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осью Oz .

Решение. Найдём точку пересечения данной плоскости с осью Oz . Так как любая точка, лежащая на оси Oz , имеет координаты , то, полагая в заданном уравнении плоскости x = y = 0 , получим 4z - 8 = 0 или z = 2 . Следовательно, точка пересечения данной плоскости с осью Oz имеет координаты (0; 0; 2) . Поскольку искомая прямая перпендикулярна плоскости, она параллельна вектору её нормали . Поэтому направляющим вектором прямой может служить вектор нормали заданной плоскости.

Теперь запишем искомые уравнения прямой, проходящей через точку A = (0; 0; 2) в направлении вектора :

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками и В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор . Тогда канонические уравнения прямой примут вид

Приведённые выше уравнения и определяют прямую, проходящую через две заданные точки.

Пример 2. Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки и .

Решение. Запишем искомые уравнения прямой в виде, приведённом выше в теоретической справке:

Так как , то искомая прямая перпендикулярна оси Oy .

Прямая как линия пересечения плоскостей

Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и , т. е. как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений

Уравнения системы называются также общими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 3. Составить канонические уравнения прямой в пространстве, заданной общими уравнениями

Решение. Чтобы написать канонические уравнения прямой или, что то же самое, уравнения прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например yOz и xOz .

Точка пересечения прямой с плоскостью yOz имеет абсциссу x = 0 . Поэтому, полагая в данной системе уравнений x = 0 , получим систему с двумя переменными:

Её решение y = 2 , z = 6 вместе с x = 0 определяет точку A (0; 2; 6) искомой прямой. Полагая затем в заданной системе уравнений y = 0 , получим систему

Её решение x = -2 , z = 0 вместе с y = 0 определяет точку B (-2; 0; 0) пересечения прямой с плоскостью xOz .

Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки A (0; 2; 6) и B (-2; 0; 0) :

или после деления знаменателей на -2:

Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz в пространстве.

Уравнением поверхности называется такое уравнение F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности.

Например, сфера – это геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром сферы. Так все точки, удовлетворяющие уравнению
лежат на сфере с центром в точке О(0.0.0) и радиусомR (Рис.1).

Координаты любой точки, не лежащей на данной сфере, не удовлетворяют этому уравнению.

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей. Так на рисунке 1 пересечением сферы с плоскостью Oxy является окружность с центром в точке О и радиусом R.

Простейшей поверхностью является плоскость , простейшей линией в пространстве является прямая .

2. Плоскость в пространстве.

2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

В системе координат Oxyz рассмотрим плоскость (Рис.2). Ее положение определяется заданием вектораперпендикулярного этой плоскости, и фиксированной точки
лежащей в этой плоскости. Вектор
перпендикулярный плоскости
называетсянормальным вектором (вектором-нормалью). Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) плоскости . Вектор
лежащий в плоскости
будет перпендикулярен вектору-нормалиИспользуя условие ортогональности векторов
получим уравнение:где

Уравнение (2.2.1 )

называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.

Если в уравнении (2.1.1) раскроем скобки и перегруппируем члены, то получим уравнение илиAx + By + Cz + D = 0, где

D =
.

2.2. Общее уравнение плоскости.

Уравнение Ax + By + Cz +D = 0 (2.2.1 )

называется общим уравнением плоскости, где
- нормальный вектор.

Рассмотрим частные случаи этого уравнения.

1).D = 0. Уравнение имеет вид: Ax + By + Cz = 0. Такая плоскость проходит через начало координат. Ее нормальный вектор

2). С = 0:Ax + By + D = 0
плоскость параллельна оси oz (Рис.3).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
плоскость параллельна оси oy (Рис.4).

4). A = 0: By + Cz + D = 0

плоскость параллельна оси ox (Рис.5).

5). C = D = 0: Ax + By = 0
плоскость проходит через ось oz (Рис.6).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
плоскость проходит через ось oy (Рис.7).

7). A = D = 0: By + Cz = 0
плоскость проходит через ось ox (Рис.8).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||oz
плоскость параллельна плоскостиOxy (Рис.9).

9). B = C = 0: Ax + D = 0

||ox
плоскость

параллельна плоскостиOyz (Рис.10).

10).A = C = 0: By + D = 0

||oy
плоскость параллельна плоскостиOxz (Рис.11).

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
Найти точки пересечения этой плоскости с осями координат.

Решение. По формуле (2.1.1) имеем

2x – y + 3z + 3 = 0.

Для того, чтобы найти пересечение этой плоскости с осью ox, подставим в полученное уравнение y = 0, z = 0. Имеем 2x + 3 = 0; x = – 1,5.

Точка пересечения искомой плоскости с осью ox имеет координаты:

Найдем пересечение плоскости с осью oy. Для этого возьмем x = 0; z = 0. Имеем

– y + 3 = 0 y = 3. Итак,

Для нахождения точки пересечения с осью oz возьмем x = 0; y = 0
3z + 3 = 0
z = – 1. Итак,

Ответ: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

Пример 2. Исследовать плоскости, заданные уравнениями:

a). 3x – y + 2z = 0

б). 2x + z – 1 = 0

в). – y + 5 = 0

Решение. а). Данная плоскость проходит через начало координат (D = 0) и имеет нормальный вектор

б). В уравнении
коэффициентB = 0. Следовательно,
Плоскость параллельна осиoy.

в). В уравнении – y + 5 = 0 коэффициенты A = 0, C = 0. Значит

Плоскость параллельна плоскости oxz.

г). Уравнение x = 0 задает плоскость oyz, так как при B = 0, C = 0 плоскость параллельна плоскости oyz, а из условия D = 0 следует, что плоскость проходит через начало координат.

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(2,3,1) и перпендикулярной вектору
гдеB(1,0, –1), C(–2,2,0).

Решение. Найдем вектор

Вектор
является нормальным вектором искомой плоскости, проходящей через точкуA(2,3,1). По формуле (2.1.1) имеем:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x – 2y – z + 1 = 0.

Ответ: 3x – 2y – z + 1 = 0.

2.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость (см. рис. 12). Пусть точки не лежат на одной прямой. Чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать одну точку плоскости и нормальный вектор. Точки, лежащие на плоскости, известны:
Можно взять любую. Для нахождения нормального вектора воспользуемся определением векторного произведения векторов. Пусть
Тогдаследовательно,
Зная координаты точки
и нормального векторанайдем уравнение плоскости, применяя формулу (2.1.1).

Другим способом уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, можно получить, используя условие компланарности трех векторов. Действительно, векторы
где M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости, компланарны (см. рис.13). Следовательно, их смешанное произведение равно 0:

Применив формулу смешанного произведения в координатной форме, получим:

(2.3.1)

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение. По формуле (2.3.1) имеем

Раскрыв определитель, получим:

Полученная плоскость параллельна оси oy. Ее нормальный вектор

Ответ : x + z – 4 = 0.

2.4. Угол между двумя прямыми.

Две плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла, равных попарно (см. рис. 14). Один из двугранных углов равен углу между нормальными векторами этих плоскостей.

Пусть даны плоскости:

Их нормальные векторы имеют координаты:

Из векторной алгебры известно, что
или

(2.4.1)

Пример: Найти угол между плоскостями:

Решение: Найдем координаты нормальных векторов: По формуле (2.4.1) имеем:

Один из двугранных углов, полученных при пересечении данных плоскостей, равен
Можно найти и второй угол:

Ответ :

2.5. Условие параллельности двух плоскостей.

Пусть даны две плоскости:

Если эти плоскости параллельны, то их нормальные векторы

коллинеарны (см. рис.15).

Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

(2.5.1 )

Верно и обратное утверждение: если нормальные векторы плоскостей коллинеарны, то плоскости параллельны.

Пример 1. Какие из указанных плоскостей параллельны:

Решение: а). Выпишем координаты нормальных векторов.

Проверим их коллинеарность:

Отсюда следует, что

б). Выпишем координаты

Проверим коллинеарность:

Векторы
не коллинеарны, плоскости
не параллельны.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M(2, 3, –2) параллельно плоскости

Решение: Искомая плоскость параллельна данной плоскости. Поэтому нормальный вектор плоскости можно взять за нормальный вектор искомой плоскости.
Применяя уравнение (2.1.1), получим:

Ответ:
.

Пример 3. Определить при каких a и b плоскости параллельны:

Решение: Выпишем координаты нормальных векторов:

Так как плоскости параллельны, то векторы
коллинеарны.По условию (2.5.1)
Отсюда b = – 2 ; a = 3.

Ответ: a = 3; b = –2.

2.6. Условие перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости
перпендикулярны, то их нормальные векторы
тоже перпендикулярны (см. рис.16).. Отсюда следует, что их скалярное произведение равно нулю, т.е.
или в координатах:

Это условие перпендикулярности двух плоскостей. Обратное утверждение также верно, то есть, если выполняется условие (2.6.1), то векторы
следовательно,